拙作“良师如光——我的两位博导”，近期发表在《光明日报》旗下的刊物《教育家》2026年5月第四期上。全文（PDF）于下，分享同道。
良师如光——我的两位博导
文｜袁传宽
世上学子芸芸，然得遇良师者，实属难得。而我在博士求学期间，竟有幸同时师从樊畿先生与阿克曼（Charles
Akemann）先生两位大数学家。40年过去，当年授业解惑的情景仍历历在目。回首求学路：早年就读北京大学数学力学系，得冷生明、程庆民、丁石孙先生启蒙，打下数学根基；“ 文革”期间下放至甘肃中学任教，后蒙华罗庚先生举荐重返专业，执教于清华大学；20世纪80年代初，通过留学考试，进入美国加州大学圣塔芭芭拉分校（UCSB）攻读博士。在此阶段，两位导师如长明之灯，照亮我前行的道路。
先生其人，其教其风
樊畿先生是20世纪30年代北京大学的优秀毕业生，并留校任教。抗战时期，他随北大南迁昆明，考取公费留学赴法深造，后辗转赴美，先后在普林斯顿高等研究院以及加州大学从事研究与教学。这位享誉世界的数学家获奖无数，曾在20世纪80年代接替陈省身先生，继任台湾中研院数学所所长，
1989年被授予“ 北京大学名誉教授”称号，平生藏书悉数捐赠北大。2010年樊畿先生逝世，享年95岁。
1982年我初到加州，先随樊先生研习拓扑群、不动点理论、非线性分析，为日后的博士论文奠定基础。先生个子不高，讲课时精神饱满、嗓音洪亮，对学生要求极为严格，出的考题也很难。他为数学系博士研究生开设的最后一门课是“ 拓扑群”。开学之初，学生们慕名而至，课堂爆满；一周后大多
知难而退，班里便只剩下六个博士生。
那时我每学期至少选修五门课，心里盘算着三年内（ 赶在他退休前）完成博士论文。某日，他把我召进办公室，微笑道：“ 三年毕业未尝不可，但多一年，你会更从容。而且我退休后仍会半职留任，你无须与时间赛跑。”最后，他建议我“ 再多读一些算子代数”，推动我进入一个新的领域。为了强调这
条建议，他特别用了句英文成语“Last but not least”，意思是“ 最后这条，同样重要”。
尽管先生在非线性分析领域曾有奠基之功，可出乎意料的是，他竟不赞成我在该领域做博士论文，并直言道：“ 这个
方向最热闹的时候已经过去了。”但随后的教诲却如一盏明灯，照亮了新的方向：“ 可以思考跨越非线性和算子代数，做深刻一点的工作。”何为“ 深刻”？先生这样给我“ 开悟”：做数学就像用多棱镜看世界，从不同的侧面可以看到不同的景象，跨越数学分支来研究问题，多视角认识与思考数学命
题，才能接近数学所描述的世界本质。
为了使我的论文达到他的预期，先生甚至亲自为我引荐数学系另一位著名学者：“ 阿克曼教授人品正，学问好，多向他请教。”樊师的谆谆教导，不囿于门派、只唯学术传承的广阔胸襟，令我感受到良师如光。
阿克曼先生身材魁梧，灰白络腮胡须，近视镜片后是一双深邃而敏锐的眼睛。他不苟言笑，课堂上从无一句闲话，
考试也极难。学生大多对他敬而远之，不敢选他做论文导师。然而在学术之外，他却有着一颗热切的心。
阿克曼先生的太太是当地中心医院的护士长。两人育有两儿一女，当时已分别就读小学和中学，却又收养了一对黑
人孪生婴儿。半年后，他们发现其中一个竟是聋哑儿。阿克曼太太曾向我提起此事，边说边擦拭眼泪。不久，她便辞去工作，专心照料这两个孩子。阿克曼先生则每周往返洛杉矶上课，还专门学习聋哑人手语。那时我才真正意识到，这位令学生望而生畏的教授，私下里却是一个用真爱与深情守护家庭的人。他和太太，是一对内心充满大爱的伴侣。
阿克曼先生对我并不陌生。当年我从北京申请赴UCSB数学系留学，就是他签发的录取通知。进校后，我还跟他学
过一年算子代数课。因此指导我的博士论文，他胸有成竹，为我挑选了一个困扰学界多年的难题，也是他主持的国家自然科学基金研究课题之一。半年后，我完成了证明，却意外得知瑞士已有学者抢先完成。他和我一样，都感到失望，但依然神情平静地说：“ 你的方法不同，依然值得发表。”我心中一
阵茫然，下一步该往哪走？他指着办公室里一排档案柜说：“ 这里有许多问题可做。”他交给我一把钥匙，说：“ 我下班后，你随时可以来查阅档案柜文献”。唯一的要求是“ 取用归位”。
阿克曼先生对我毫无保留，不仅交出了他多年积攒的“ 学术家底”，更交托了一份沉甸甸的信任。从那以后，他的办
公室成了我的第二个图书馆。无数个夜晚，我在这里翻阅资料、推敲推理，若有新定理产生或者任何疑问，便写在黑板上。翌日他来，就会默默审阅，再与我细细研讨。所谓“ 独立研习”（Independent Studies），正是他为我量身定制的一门课程，每逢周五上午，在他的办公室进行。这是我读博岁月
里最快乐的一段时光。与他切磋，使我的眼界大开，论文进展顺利。那是我博士阶段的最后一门课，既计入学分，又收获成绩，更刻进了我学术生命的年轮。
那阵子，我的兴趣完全落在冯·诺伊曼代数上，并将前辈艾佛鲁斯（EG Effros）教授在离散群上提出的“ 内均值性”推广至一般局部紧致拓扑群；建立了拓扑群的一个新类别“ 内均值群”，并效法樊先生跨越学科的研究风格，从调和分析、拓扑群、不动点和算子代数四个维度来刻画这一类群。“ 内均值群”理论竟能流传至今，令人欣慰。回顾当年摸索前行，就像“ 盲人爬山”，每一步都需要四方探路，寻
找攀登的方向。
1986年，我的博士论文初成，阿克曼先生推荐我在那年的国际数学家大会（ICM）上作报告，并亲自旁听。樊先生则亲自把我之后的两篇论文，推荐到数学界一流期刊《 数学分析与应用学报》（JMAA）上发表。同时，英国数学家派特森（Alan Paterson）也将我的研究结果收入其专著《 均值性》
（Amenability），该书于1989年出版。那年，樊先生应邀回国讲学，我在清华大学接待先生，他赠予我的见面礼正是此书。
纸短情长：跨洋书信中的师教
人们常说：师生关系是一种特殊的缘分。两位导师在我毕业离校之后，仍持续关心我的研究进展，甚至彼此商讨如
何更好地指导我。此等情意，在学界殊为难得。
取得博士学位后，我回到清华大学应用数学系任教，并遵两位导师之建议，跨越调和分析、不动点、拓扑群和算子
代数四个分支，继续深化研究。彼时，通讯远不如今日发达，我们仅能借纸笔往返，跨越太平洋的，不过是几页轻薄的航空信笺，那几乎是我与两位恩师之间唯一的联络途径。
至今仍记忆犹新的一次，是我将一个多日苦思未解的问题写信告知他们。一个月内，相继接获二位的回函。樊先生
在信中温言鼓励道——
“您给Akemann的信，他早已收到，也想必早回信给您。我和他都讨论过您的问题。研究数学问题，若一时难解，须耐心慢慢探索，不能放弃，并尝试不同方法和角度。结果可能没想象中难。我和Akemann仍在用心研究，恐需时日。”
阿克曼先生的严谨同样令人敬佩。我每有论文初稿，便第一时间寄与先生，他总是逐字逐句细读，指出不妥之处，条条列出，再以打字机一字一字敲成整洁文稿寄回。这份近乎苛细的耐心与投入，正是对我最深切的珍视与呵护。
每当我的文章通过评审、即将刊出时，两位先生亦会亲笔来信报喜，附上评审意见或校样，殷殷关怀，溢于字里行
间。翻检两位恩师的昔日书信，信封上写着“Beijing, China”的中英文地址，信中满是密密麻麻的批注与亲笔签名。纵然纸色已黄，在我心中却从未褪色。两位恩师的目光，仿佛仍在信纸与黑板之间注视着我、勉励着我，宛如当年。
可堪告慰恩师的是，我在40年前发表的论文，至今仍被引用和发展。新一代欧美阿拉伯数学家们在我建立的“ 内均值拓扑群”理论框架上，聚焦于某些特殊的拓扑群类，演绎出“ 内均值变换群”“ 内均值量子群”等。这让我猛然想起，当年我博士论文答辩结束前，樊先生曾温厚点评：“ 你的这个工作不错，大概可有50年的生命力。”如今40载春秋已过，后浪推前浪，这句断言终在后辈的耕耘和收获中听到回声。
良师如光——我的两位博导
秋立 (2026-05-28 17:13:45) 评论 (0)拙作“良师如光——我的两位博导”，近期发表在《光明日报》旗下的刊物《教育家》2026年5月第四期上。全文（PDF）于下，分享同道。
良师如光——我的两位博导
文｜袁传宽
世上学子芸芸，然得遇良师者，实属难得。而我在博士求学期间，竟有幸同时师从樊畿先生与阿克曼（Charles
Akemann）先生两位大数学家。40年过去，当年授业解惑的情景仍历历在目。回首求学路：早年就读北京大学数学力学系，得冷生明、程庆民、丁石孙先生启蒙，打下数学根基；“ 文革”期间下放至甘肃中学任教，后蒙华罗庚先生举荐重返专业，执教于清华大学；20世纪80年代初，通过留学考试，进入美国加州大学圣塔芭芭拉分校（UCSB）攻读博士。在此阶段，两位导师如长明之灯，照亮我前行的道路。
先生其人，其教其风
樊畿先生是20世纪30年代北京大学的优秀毕业生，并留校任教。抗战时期，他随北大南迁昆明，考取公费留学赴法深造，后辗转赴美，先后在普林斯顿高等研究院以及加州大学从事研究与教学。这位享誉世界的数学家获奖无数，曾在20世纪80年代接替陈省身先生，继任台湾中研院数学所所长，
1989年被授予“ 北京大学名誉教授”称号，平生藏书悉数捐赠北大。2010年樊畿先生逝世，享年95岁。
1982年我初到加州，先随樊先生研习拓扑群、不动点理论、非线性分析，为日后的博士论文奠定基础。先生个子不高，讲课时精神饱满、嗓音洪亮，对学生要求极为严格，出的考题也很难。他为数学系博士研究生开设的最后一门课是“ 拓扑群”。开学之初，学生们慕名而至，课堂爆满；一周后大多
知难而退，班里便只剩下六个博士生。
那时我每学期至少选修五门课，心里盘算着三年内（ 赶在他退休前）完成博士论文。某日，他把我召进办公室，微笑道：“ 三年毕业未尝不可，但多一年，你会更从容。而且我退休后仍会半职留任，你无须与时间赛跑。”最后，他建议我“ 再多读一些算子代数”，推动我进入一个新的领域。为了强调这
条建议，他特别用了句英文成语“Last but not least”，意思是“ 最后这条，同样重要”。
尽管先生在非线性分析领域曾有奠基之功，可出乎意料的是，他竟不赞成我在该领域做博士论文，并直言道：“ 这个
方向最热闹的时候已经过去了。”但随后的教诲却如一盏明灯，照亮了新的方向：“ 可以思考跨越非线性和算子代数，做深刻一点的工作。”何为“ 深刻”？先生这样给我“ 开悟”：做数学就像用多棱镜看世界，从不同的侧面可以看到不同的景象，跨越数学分支来研究问题，多视角认识与思考数学命
题，才能接近数学所描述的世界本质。
为了使我的论文达到他的预期，先生甚至亲自为我引荐数学系另一位著名学者：“ 阿克曼教授人品正，学问好，多向他请教。”樊师的谆谆教导，不囿于门派、只唯学术传承的广阔胸襟，令我感受到良师如光。
阿克曼先生身材魁梧，灰白络腮胡须，近视镜片后是一双深邃而敏锐的眼睛。他不苟言笑，课堂上从无一句闲话，
考试也极难。学生大多对他敬而远之，不敢选他做论文导师。然而在学术之外，他却有着一颗热切的心。
阿克曼先生的太太是当地中心医院的护士长。两人育有两儿一女，当时已分别就读小学和中学，却又收养了一对黑
人孪生婴儿。半年后，他们发现其中一个竟是聋哑儿。阿克曼太太曾向我提起此事，边说边擦拭眼泪。不久，她便辞去工作，专心照料这两个孩子。阿克曼先生则每周往返洛杉矶上课，还专门学习聋哑人手语。那时我才真正意识到，这位令学生望而生畏的教授，私下里却是一个用真爱与深情守护家庭的人。他和太太，是一对内心充满大爱的伴侣。
阿克曼先生对我并不陌生。当年我从北京申请赴UCSB数学系留学，就是他签发的录取通知。进校后，我还跟他学
过一年算子代数课。因此指导我的博士论文，他胸有成竹，为我挑选了一个困扰学界多年的难题，也是他主持的国家自然科学基金研究课题之一。半年后，我完成了证明，却意外得知瑞士已有学者抢先完成。他和我一样，都感到失望，但依然神情平静地说：“ 你的方法不同，依然值得发表。”我心中一
阵茫然，下一步该往哪走？他指着办公室里一排档案柜说：“ 这里有许多问题可做。”他交给我一把钥匙，说：“ 我下班后，你随时可以来查阅档案柜文献”。唯一的要求是“ 取用归位”。
阿克曼先生对我毫无保留，不仅交出了他多年积攒的“ 学术家底”，更交托了一份沉甸甸的信任。从那以后，他的办
公室成了我的第二个图书馆。无数个夜晚，我在这里翻阅资料、推敲推理，若有新定理产生或者任何疑问，便写在黑板上。翌日他来，就会默默审阅，再与我细细研讨。所谓“ 独立研习”（Independent Studies），正是他为我量身定制的一门课程，每逢周五上午，在他的办公室进行。这是我读博岁月
里最快乐的一段时光。与他切磋，使我的眼界大开，论文进展顺利。那是我博士阶段的最后一门课，既计入学分，又收获成绩，更刻进了我学术生命的年轮。
那阵子，我的兴趣完全落在冯·诺伊曼代数上，并将前辈艾佛鲁斯（EG Effros）教授在离散群上提出的“ 内均值性”推广至一般局部紧致拓扑群；建立了拓扑群的一个新类别“ 内均值群”，并效法樊先生跨越学科的研究风格，从调和分析、拓扑群、不动点和算子代数四个维度来刻画这一类群。“ 内均值群”理论竟能流传至今，令人欣慰。回顾当年摸索前行，就像“ 盲人爬山”，每一步都需要四方探路，寻
找攀登的方向。
1986年，我的博士论文初成，阿克曼先生推荐我在那年的国际数学家大会（ICM）上作报告，并亲自旁听。樊先生则亲自把我之后的两篇论文，推荐到数学界一流期刊《 数学分析与应用学报》（JMAA）上发表。同时，英国数学家派特森（Alan Paterson）也将我的研究结果收入其专著《 均值性》
（Amenability），该书于1989年出版。那年，樊先生应邀回国讲学，我在清华大学接待先生，他赠予我的见面礼正是此书。
纸短情长：跨洋书信中的师教
人们常说：师生关系是一种特殊的缘分。两位导师在我毕业离校之后，仍持续关心我的研究进展，甚至彼此商讨如
何更好地指导我。此等情意，在学界殊为难得。
取得博士学位后，我回到清华大学应用数学系任教，并遵两位导师之建议，跨越调和分析、不动点、拓扑群和算子
代数四个分支，继续深化研究。彼时，通讯远不如今日发达，我们仅能借纸笔往返，跨越太平洋的，不过是几页轻薄的航空信笺，那几乎是我与两位恩师之间唯一的联络途径。
至今仍记忆犹新的一次，是我将一个多日苦思未解的问题写信告知他们。一个月内，相继接获二位的回函。樊先生
在信中温言鼓励道——
“您给Akemann的信，他早已收到，也想必早回信给您。我和他都讨论过您的问题。研究数学问题，若一时难解，须耐心慢慢探索，不能放弃，并尝试不同方法和角度。结果可能没想象中难。我和Akemann仍在用心研究，恐需时日。”
阿克曼先生的严谨同样令人敬佩。我每有论文初稿，便第一时间寄与先生，他总是逐字逐句细读，指出不妥之处，条条列出，再以打字机一字一字敲成整洁文稿寄回。这份近乎苛细的耐心与投入，正是对我最深切的珍视与呵护。
每当我的文章通过评审、即将刊出时，两位先生亦会亲笔来信报喜，附上评审意见或校样，殷殷关怀，溢于字里行
间。翻检两位恩师的昔日书信，信封上写着“Beijing, China”的中英文地址，信中满是密密麻麻的批注与亲笔签名。纵然纸色已黄，在我心中却从未褪色。两位恩师的目光，仿佛仍在信纸与黑板之间注视着我、勉励着我，宛如当年。
可堪告慰恩师的是，我在40年前发表的论文，至今仍被引用和发展。新一代欧美阿拉伯数学家们在我建立的“ 内均值拓扑群”理论框架上，聚焦于某些特殊的拓扑群类，演绎出“ 内均值变换群”“ 内均值量子群”等。这让我猛然想起，当年我博士论文答辩结束前，樊先生曾温厚点评：“ 你的这个工作不错，大概可有50年的生命力。”如今40载春秋已过，后浪推前浪，这句断言终在后辈的耕耘和收获中听到回声。